निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ ..... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos(\pi-x)) d x = \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} \{\log(1+\cos x) + \log(1-\cos x)\} d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \log(1-\cos^2 x) d x = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) d x$
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x \Rightarrow I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) d x = 2 \int_{0}^{a} f(x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x$ ..... $(3)$
इसी प्रकार,$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\cos x) d x$ ..... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi/2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) d x$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x \cos x) d x = \int_{0}^{\pi/2} \log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) d x$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin 2x) d x - \int_{0}^{\pi/2} \log 2 d x$
माना $2x = t$,तो $2 dx = dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\pi/2, t=\pi$:
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log(\sin t) d t - \frac{\pi}{2} \log 2$
$I = \frac{1}{2} (2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t) d t) - \frac{\pi}{2} \log 2 = I - \frac{\pi}{2} \log 2$ (यहाँ $I = I/2 - \frac{\pi}{2} \log 2$ प्राप्त होता है).
अतः,$I/2 = -\frac{\pi}{2} \log 2 \Rightarrow I = -\pi \log 2$.